🪆 Tìm Hệ Số Của Số Hạng Chứa X 8
11. Con số may mắn cho tuổi Tuất. 12. Con số may mắn cho tuổi Hợi. Tử vi thứ 3 ngày 23/8/2022 của 12 con giáp: Thìn tiến triển, Tuất quyết đoán. Con số may mắn hôm nay 23/8/2022, con số may mắn theo 12 con giáp. 1. Số phát lộc cho tuổi Tý.
I. Cách giải bài toán: Tìm x để biểu thức nguyên • Để tìm x để biểu thức nguyên ta cần thực hiện các bước sau: + Bước 1: Tìm điều kiện của x (phân số thì mẫu số phải khác 0). + Bước 2: Nhận biết dạng bài toán để có cách giải tương ứng - Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.
Hệ số của số hạng đựng $x^8$ ứng với $x^i,+,4=x^8Leftrightarrow i=4,,xrightarrow,,$ Hệ số của $x^8$ là $C_8^4.3^4.$ Vậy thông số đề nghị tra cứu là $2^6.C_10^6 - 3^4.C_8^4 = 7770.$ Đáp án nên chọn là: b Xem thêm: Dĩ Tân Âm Dương Sư - Ghim Của Dĩ Tân Chân Thiên Trên Âm Dương Sư Câu hỏi liên quan
Tổng các hệ số của đa thức là: Trong khai triển (a−2b)8 ( a − 2 b) 8, hệ số của số hạng chứa a4⋅b4 a 4 ⋅ b 4 là: Hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức x(2x−1)6+(3x−1)8 x ( 2 x − 1) 6 + ( 3 x − 1) 8 bằng. Hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển Newton (x− 2 x2
Hãy tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức : Kết luận : Hệ số của x 8 là x8 27159 . Ví dụ 17 : Tìm số hạng chứa x 8 trong
Một số chữ ký đã được xây dựng là: chữ ký RSA, chữ ký ELGAMAL, chữ ký DSS, chữ ký RABIN . Mặc dù các chữ ký số còn nhiều hạn chế như là về kích thước chữ ký, hay khả năng chống giả mạo chưa cao . nhưng những khả năng mà nó đem lại là rất hữu ích. RSA (Rivest
Ảnh số là tập hợp hữu hạn các điểm ảnh với mức xám phù hợp dùng để mô tả ảnh gần với ảnh thật. Số điểm ảnh xác định độ phân giải của ảnh. Hầu hết các file ảnh sử dụng 8 bit để chứa giá trị của pixel. Khi chúng được đọc vào bộ nhớ, Matlab
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x/2 + 4/x)^18 - Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x/2 + 4/x)^18,Toán học Lớp 11,bài tập Toán học Lớp 11,giải bài tập Toán học Lớp 11,Toán học,Lớp 11 Lazi - Người trợ giúp bài tập về nhà 24/7 của bạn. ĐĂNG KÝ . ĐĂNG NHẬP
Bài tập trắc nghiệm tìm cực trị của hàm số. Để tải trọn bộ chỉ với 50k hoặc 250K để tải không giới hạn kho tài liệu trên web và drive, vui lòng liên hệ Zalo 0388202311 hoặc Liên hệ CLB_HSG_Hà Nội .Để tải trọn bộ chỉ với 50k hoặc 250K để tải không giới hạn kho
9V1QIv8. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhị thức Newton khi biết số mũ $n$, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phương pháp + Áp dụng khai triển ${a + b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}.$ + Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng $A.{x^{fk}}$ với $x$ là ẩn. + Đối chiếu với giả thiết giải phương trình $fk = h$, tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số cần tìm. Lưu ý Một số tính chất của lũy thừa ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$ $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$ ${\left {{a^m}} \right^n} = {a^{ ${ab^m} = {a^m}.{b^m}.$ ${\left {\frac{a}{b}} \right^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.$ $\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}.$ $\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{n}{m}}}.$ $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.$2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Tìm hệ số của ${x^{31}}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40 – k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k – 80}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{40}^k{x^{3k – 80}}.$ Để có hệ số của ${x^{31}}$ thì $3k – 80 = 31$ $ \Leftrightarrow k = 37.$ Vậy hệ số của ${x^{31}}$ là $C_{40}^{37} = 9880.$Bài 2 Tìm hệ số không chứa $x$ của khai triển nhị thức Newton của ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ với $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\sqrt[3]{x}^{7 – k}}{\left {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{7 – k}}{3}}}.\frac{1}{{{x^{\frac{k}{4}}}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{28 – 7k}}{{12}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_7^4 = 35.$Bài 3 Tìm hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}.{ – xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k.{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ là $C_{15}^k.{ – 1^k}$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 29}\\ {k = 8} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển là $C_{15}^8.{ – 1^8} = 6435.$Bài 4 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $ = {\left {2x + {x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^{18}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {2x^{18 – k}}{\left {{x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{90 – 6k}}{5} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 15.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.$Bài 5 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right^{17}}$ với $x \ne 0.$Lời giải Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{17}^k{\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{17 – k}}{\left {{x^{\frac{3}{4}}}} \right^k}$ $ = C_{17}^k{x^{\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2}}}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {k \le 17} \end{array}} \right..$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{17}^8 = 24310.$Bài 6 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{ – 3}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 72 + 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^8 = 495.$Bài 7 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^3}} \right^{10 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $30 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^6{2^4} = 3360.$Bài 8 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{15 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $15 – 2k = 7$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển là $C_{15}^4 = 1365.$Bài 9 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có $ = {\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2x^{10 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^5{2^5}{ – 1^5} = – 8064.$Bài 10 Tìm hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^2}} \right^{10 – k}}{ – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} { – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{ – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Hệ số của ${x^{16}}$ là $C_{10}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển $C_{10}^4{ – 2^4} = 3360.$Bài 11 Tìm hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}{xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 25}\\ {k = 10} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 10.$ Vậy hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển là $C_{15}^{10} = 3003.$Bài 12 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển của nhị thức Newton ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}.$Lời giải Ta có ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 – k}}{\left { – \frac{2}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} { – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – 2k = 8$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{20}^6{ – 2^6} = 2480640.$Bài 13 Tìm hệ số của ${x^8}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}.$Lời giải Ta có ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ $ = C_8^0 + C_8^1{x^2}1 – x$ $ + C_8^2{x^4}{1 – x^2} + C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ $ + C_8^4{x^8}{1 – x^4} + C_8^5{x^{10}}{1 – x^5}$ $ + C_8^6{x^{12}}{1 – x^6} + C_8^7{x^{14}}{1 – x^7}$ $ + C_8^8{x^{16}}{1 – x^8}.$ Nhận xét Bậc của $x$ trong $3$ số hạng đầu luôn nhỏ hơn $8.$ Bậc của $x$ trong $4$ số hạng cuối luôn lớn hơn $8.$ Do đó ${x^8}$ chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm. Xét trong khai triển $C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Xét trong khai triển $C_8^4{x^8}{1 – x^4}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Vậy hệ số của ${x^8}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ là $C_8^ + C_8^ = 238.$Bài 14 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển ${x + 1^4} + {x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là tổng hệ số của ${x^5}$ trong từng khai triển ${x + 1^i}$, $i = \overline {4…7} .$ Nhận xét rằng trong khai triển ${x + 1^4}$ không chứa ${x^5}.$ Ta có ${x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}$ $ = \sum\limits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + \sum\limits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \sum\limits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = 5$ ta được hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.$Bài 15 Cho đa thức $Px = {1 + x^9} + {1 + x^{10}}$ $ + {1 + x^{11}} + \ldots + {1 + x^{14}}$ có dạng khai triển là $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{14}}{x^{14}}.$ Hãy tính hệ số ${a_9}.$Lời giải Để tính hệ số ${a_9}$ là hệ số của ${x^9}$ ta tính hệ số ${a_9}$ trong từng nhị thức của $Px$ rồi tính tổng của chúng. Xét khai triển ${1 + x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_9^9.$ Xét khai triển ${1 + x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_{10}^9.$ Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong $Px$ ta được ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.$Bài 16 Cho $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$ Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm bao nhiêu số hạng?Lời giải Ta có $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – k}}{\left {{x^{ – 2}}} \right^k}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{\left {{x^3}} \right^{10 – h}}{\left {{x^{ – 1}}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – 3k}}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{x^{30 – 4h}}.$ Trong khai triển ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ có $21$ số hạng và khai triển ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $11$ số hạng. Xét trường hợp $20 – 3k = 30 – 4h$ $ \Leftrightarrow 4h – 10 = 3k.$ Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ suy ra $4h – 10$ phải chia hết cho $3.$ Mặt khác $0 \le h \le 10$, suy ra $h = 4$, $h = 7$, $h = 10.$ Suy ra trong hai khai triển của ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ và ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $3$ số hạng có lũy thừa của $x$ giống nhau. Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm có $21 + 11 – 3 = 29$ số 17 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ bằng tổng hệ số chứa ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5}$ và ${x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Xét khai triển $x{1 – 2x^5}$ $ = x.\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^k{ – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Chọn $k = 4$ ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_5^4{ – 2^4} = 80.$ Xét khai triển ${x^2}{1 + 3x^{10}}$ $ = {x^2}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3x^h}$ $ = \sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.$ Chọn $h=3$, ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_{10}^3{3^3} = 3240.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ là $80 + 3240 = 3320.$Bài 18 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{\frac{4}{5}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{\frac{4}{5}}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{240 – 48k}}{{25}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k = 729.$ Bài 19 Gọi ${a_0}$, ${a_1}$, ${a_2}$, …, ${a_{11}}$ là hệ số trong khai triển ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + \ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.$ Tìm hệ số của ${a_5}.$Lời giải Ta có ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}} + \sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Ta có hệ số ${a_5}$ chính là hệ số của ${x^6}$ trong khai triển. Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}}$ có số hạng tổng quát là $C_{10}^k{x^{11 – k}}.$ Chọn $k = 5$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $C_{10}^5.$ Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}$ có số hạng tổng quát là $2C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Chọn $k = 4$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $2C_{10}^4.$ Vậy ${a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.$Bài 20 Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 – 2k}}.$ Chọn $k = 3$, ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là $C_{10}^3 = 120.$Bài 21 Tìm hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – 3k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 – 3k}}.$ Chọn $k = 30$, ta được hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển là $C_{40}^{30} = 847660528.$Bài 22 Tìm hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}$ $ = {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{7 – k}}{x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 14 + 5k}}{3} = 2$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^4{x^2} = 35{x^2}.$Bài 23 Cho đa thức $Px = 1 + x + 2{1 + x^2}$ $ + 3{1 + x^3} + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ được viết dưới dạng $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{20}}{x^{20}}.$ Tìm hệ số ${a_{15}}$?.Lời giải Hệ số ${a_{15}}$ là hệ số của ${x^{15}}$ trong khai triển $Px.$ Ta nhận thấy ${x^{15}}$ chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ $15$ trở đi, tức là trong tổng $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + 17{1 + x^{17}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}.$ Mà $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ $ = 15\sum\limits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + 16\sum\limits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \ldots + 20\sum\limits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = \ldots = {k_6}$ ta được hệ số của $x^{15}$ trong khai triển $Px$ là $15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}$ $ + 17C_{17}^{15} + \ldots + 20C_{20}^{15}$ $ = 400995.$Bài 24 Khai triển $Px = {3 + x^{50}}$ $ = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{50}}{x^{50}}.$ a/ Tính hệ số ${a_{46}}.$ b/ Tính tổng $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}.$Lời giải a Ta có ${3 + x^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}{x^k}$ $*.$ Ta có ${a_k} = C_{50}^k{3^{50 – k}}$, $\forall k = \overline {0..50} .$ Suy ra ${a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.$ b Nhận thấy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}.$ Từ $*$ chọn $x= 1$, ta được ${3 + 1^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}$ $ \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}} = {4^{50}}.$ Vậy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.$Bài 25 a/ Tìm số hạng của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ là một số nguyên. b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}.$ c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}.$ d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}.$Lời giải a Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left {{3^{\frac{1}{2}}}} \right^{9 – k}}{\left {{2^{\frac{1}{3}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_9^k{3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..9} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3}\\ {k = 9} \end{array}} \right..$ Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là ${T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536$, ${T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.$ b Ta có ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}$ $ = {3^3}{\left {1 – \sqrt 5 } \right^6}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $27C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Để có số hạng hữu tỷ thì ${5^{\frac{k}{2}}}$ là số hữu tỷ, suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \vdots 2}\\ {k = \overline {0..6} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4;6\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ là ${T_1} = 27C_6^0 = 27$, ${T_3} = 27C_6^2.{ – 1^2}.5 = 810$, ${T_5} = 27C_6^4{ – 1^4}{.5^2} = 10125$, ${T_7} = 27C_6^6{ – 1^6}{.5^3} = 3375.$ c Ta có ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{5}}} + {7^{\frac{1}{3}}}} \right^{36}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{36}^k{3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa $k$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {36 – k \vdots 5}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..36} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 6;21;36\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là ${T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}$, ${T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}$, ${T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.$ d Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {5^{\frac{1}{4}}}} \right^{124}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{124}^k{.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {124 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 4}\\ {k = \overline {0..124} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4h}\\ {k = \overline {0..124} }\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 \le 4h \le 124$ $ \Leftrightarrow 0 \le h \le 31.$ Vậy có $32$ số hạng nguyên trong khai triển.
Câu hỏi Tìm hệ số của số hạng chứa \x^8\ trong khai triển Nhị thức Niu tơn của \{\left {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right^{2n}}\,\,\left {x \ne 0} \right\, biết số nguyên dương n thỏa mãn \C_n^3 + A_n^2 = 50.\ A. \\frac{{297}}{{512}}\ B. \\frac{{29}}{{51}}\ C. \\frac{{97}}{{12}}\ D. \\frac{{279}}{{215}}\ Lời giải tham khảo Đáp án đúng A Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 - 1 x 4 n biết A n 2 = C n 2 + C n 1 + 4 n + 6 A. 505 B. -405 C. 495 D. -505 Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển \\leftx-\dfrac{2}{x}\right^{n^{ }}\ , biết n là số tự nhiên thỏa mãn \C^3_n=\dfrac{4}{3}n+2C^2_n\ Xem chi tiết 1/ Giải phương trình sautan^2leftx+dfrac{pi}{3}right+leftsqrt{3}-1righttanleftx+dfrac{pi}{3}right-sqrt{3}02/ Tìm hệ số của số hạng chứa x^{26} trong khai triển leftdfrac{1}{x^4}+x^7right^n . Biết C^2_{n+2}-4C^n_{n+1}2leftn+1right n ∈ N* ; x 0Đọc tiếp Xem chi tiết Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a Gọi x là hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu – tơn x 2 - 2 x n C n 0...Đọc tiếp Xem chi tiết Cho khai triển 1 + x n với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển biết C 2 n + 1 1 + C 2...Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x - 1 x n với x ≠ 0 , biết n là số tự nhiên thỏa mãn C n 2 C n n - 2 + 2...Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của 1 x 3 + x 5 n , biết rằng C n + 4...Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm a trong khai triển 1 + a x 1 - 3 x 6 , biết hệ số của số hạng chứa x 3 là 405 A. 3 B. 7 C. -3 D. -7Đọc tiếp Xem chi tiết Xét khai triển \\left2x+\frac{1}{x}\right^{20}\a Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triểnb Số hạng nào trong khai triển không chứa xc Xác định hệ số \x^4\trong khai triển Xem chi tiết Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 x 2 - 3 x n x ≠ 0 , biết rằng 1 . C n 1 + 2 ....Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển Nhị thức Niu tơn của n 2 x + x 2 2 n x ≠ 0, biết số nguyên dương n thỏa mãn C n...Đọc tiếp Xem chi tiết
tìm hệ số của số hạng chứa x 8
